Question

4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，连结AE，OE，AE交OD于点F．
（1）求证：BF=3DF
（2）若正方形ABCD的边长为2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得AO=$\frac{1}{2}$AC、BO=DO，结合DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC可得四边形AOED是平行四边形，得OF=DF=$\frac{1}{2}$OD，即可得答案；
（2）由正方形和平行四边形性质得AO=$\sqrt{2}$、OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据勾股定理求得AF，由AE=2AF即可得答案．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AO=$\frac{1}{2}$AC．
∵DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=AC，
∵DE∥AC，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OF=DF=$\frac{1}{2}$OD，
又∵BO=DO，
∴BF=3DF；

（2）∵正方形的边长为2，
∴AO=DO=$\sqrt{2}$，
∵OF=DF=$\frac{1}{2}$OD，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{A{O}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴AE=2AF=$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查正方形性质、平行四边形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．