Question

7．如图，对称轴为直线x=$\frac{7}{2}$的抛物线经过点A（6，0）和B（0，-4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴、A、B点的坐标，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=\frac{7}{2}}\\{36a+6b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{14}{3}$x-4，
配方，得
y=-$\frac{2}{3}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，
顶点坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$）；
（2）E点坐标为（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{14}{3}$x-4），
S=2×$\frac{1}{2}$OA•y_E=6（-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{14}{3}$x-4）
即S=-4x²+28x-24；
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：
当平行四边形OEAF的面积为24时，即
-4x²+28x-24=24，
化简，得
x²-7x+12=0，解得x=3或4，
当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形．
当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．
∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，配方法求函数的顶点坐标；利用平行四边形性质是解题关键；利用方程的判别式是解题关键．