Question

3．如图1把一张矩形纸片沿对角线折叠，易证重合部分是一个等腰三角形．
（1）如图2，将矩形纸片沿对角线AC折叠，得到△ACE，且CE与AD交于点O，延长AE，CD交于点G．求证：AB=AG-GD；
（2）如图3，在矩形纸片ABCD中，若点E为BC中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，线段AB，AG，GD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想；
（3）在（2）条件下，若∠AEB=60°，AB=3，则四边形EFGD的面积是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据折叠的性质和矩形的性质证明△ADC≌△CEA，可得△OCA为等腰三角形；
（1）证明AG=CG，根据线段的和得出结论；
（2）如图3，根据折叠的性质得：BE=EF，∠B=∠EFA=90°，由HL证明Rt△ECG≌Rt△EFG，所以CG=GF，根据线段的和AG=AF+GF得出结论；
（3）如图4，作高线FH，根据特殊角的三角函数值和相似求DG、FH、GF、EF的长，代入面积公式计算即可．

解答 解：如图1，∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，BC=AD，∠CDA=∠B=90°，
由折叠得：BC=CE，AB=AE，∠B=∠CEA=90°，
∴CE=AD，AE=CD，∠CDA=∠CEA，
∴△ADC≌△CEA，
∴∠CAD=∠ECA，
∴OC=OA，
∴△OCA为等腰三角形；
（1）如图2，∵∠CDA=∠CEA=90°，∠DOC=∠EOA，
∴∠DCO=∠EAO，
∴∠DCO+∠OCA=∠EAO+∠OAC，
即∠DCA=∠CAG，
∴AG=CG，
∴AG-GD=CG-GD=CD，
∵AB=CD，
∴AB=AG-GD；
（2）如图3，AG=2AB-DG，理由是：
连接EG，
由折叠得：BE=EF，∠B=∠EFA=90°，
∴∠GFE=90°，
∵E是BC的中点，
∴EC=BE，
∴EC=EF，
∵∠C=90°，EG=EG，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=GF，
∴AG=AF+GF=AB+CG，
∵CG=CD-DG=AB-DG，
∴AG=AB+AB-DG，
∴AG=2AB-DG；
（3）如图4，过F作FH⊥CD于H，
在Rt△AEB中，∵∠AEB=60°，∠B=90°，
∴tan60°=$\frac{AB}{BE}$，
∴BE=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
由（2）得：CE=EF=BE=$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，
∵∠FEA=∠AEB=60°，
∴∠CEG=∠GEF=30°，
tan30°=$\frac{GF}{EF}$，
GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴CG=EF=1，
∴DG=2，
∵FH∥AD，
∴△GHF∽△GDA，
∴$\frac{FH}{AD}=\frac{GF}{AG}$，
∴$\frac{FH}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{1+3}$，
FH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形EFGD}=S_△DGF+S_△GFE=$\frac{1}{2}$DG•FH+$\frac{1}{2}$FG•EF=$\frac{1}{2}$×$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形相似或全等的性质和判定以及三角函数问题，第二问中三条线段的关系是以全等为突破口，利用线段的和解决问题．