Question

13．如图，已知A、C、D为⊙O上三点，过C的切线MN与弦AD平行，AD=2，AC=$\sqrt{5}$，延长AO交⊙O于B，交MN于P，则S_△ACP=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}\sqrt{5}$

Answer 1

分析 延长CO交AD于E，根据切线的性质得到OC⊥MN，根据平行线的性质、勾股定理求出CE，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出r，证明△AOE∽△POC，根据相似三角形的性质求出CP，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：延长CO交AD于E，
∵MN是⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵MN∥AD，
∴CE⊥AD，
∴AE=DE=1，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=2，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOE中，r²=1²+（2-r）²，
解得，r=$\frac{5}{4}$，
∴OE=CE-OC=$\frac{3}{4}$，
∵MN∥AD，
∴△AOE∽△POC，
∴$\frac{CP}{AE}$=$\frac{CO}{OE}$，即$\frac{CP}{1}$=$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}$，
解得，CP=$\frac{5}{3}$，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$×CP×CE=$\frac{5}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．