Question

16．如图，在?ABCD中，点M为CD边的中点，△ABM是等边三角形．求证：?ABCD是矩形．

Answer 1

分析 欲证明平行四边形ABCD是矩形，只需证得该四边形的一个内角是90度即可．

解答 证明：∵△BCM是等边三角形，
∴CM=BM，∠MBC=∠MCB=∠BMC=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠DCM=60°．
则∠AMB=∠DMC，∠MBC=∠DCM，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
∴在△AMB与△DMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠DCM}\\{∠AMB=∠DMC}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DMC（AAS），
∴∠A=∠D．
又∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定．此题根据矩形的定义进行证明的：有一个角是直角的平行四边形是矩形．