如图①.在平面直角坐标系中.已知直线AB与x.y轴分别交于A.其中a.b满足$\sqrt{b-6}$=(a+8)2-$\sqrt{6-b}$．(1)求出线段AB的长,(2)过点B作CB⊥AB.且CB=AB.画出图形并求点C的坐标,的条件下.连接AC.D是BC的中点.过点D作AC的垂线EF交AC于E.交直线AB于F.连AD.若P是射线AD上的动点.连接PC.PF.当点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图①，在平面直角坐标系中，已知直线AB与x、y轴分别交于A（a，0），B（0，b），其中a、b满足$\sqrt{b-6}$=（a+8）²-$\sqrt{6-b}$．
（1）求出线段AB的长；
（2）过点B作CB⊥AB，且CB=AB，画出图形并求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC（点C在第四象限），D是BC的中点，过点D作AC的垂线EF交AC于E，交直线AB于F，连AD，若P是射线AD上的动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF²-PC²的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，请求其值．

分析（1）由$\sqrt{b-6}$=（a+8）²-$\sqrt{6-b}$，可求a=-8，b=6，进而确定A，B两点的坐标：A（-8，0），B（0，6），进而可得：OA=8，OB=6，然后根据勾股定理可求AB的长；
（2）过点C作CM⊥y轴，垂足为M，根据AAS可证△ABO≌△BCM，然后根据全等三角形的对应边相等，可得：CM=OB=6，BM=OA=8，从而确定点C的坐标；
（3）过点D作DN⊥y轴，垂足为N，由D是BC的中点，可得DN是△BCM的中位线，进而可确定点D的坐标，然后用待定系数法分别求出直线AB，直线AC，直线AD，直线EF的关系式，然后由点F是直线AB与直线EF的交点，将直线AB与直线EF的关系式联立方程组求出点F的坐标，然后设点P（x，y），然后利用两点间的距离公式即可表示PF²-PC²，计算即可．

解答解：（1）∵$\sqrt{b-6}$=（a+8）²-$\sqrt{6-b}$，
且b-6≥0，6-b≥0，
∴b=6，
∴（a+8）²=0，
∴a=-8，
∴A（-8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10；
（2）过点C作CM⊥y轴，垂足为M，如图所示2，
∵CB⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵CM⊥y轴，
∴∠BMC=90°，
∴∠BMC=∠AMB，
在△ABO和△BCM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{∠CMB=∠BOA}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BCM（AAS），
∴CM=OB=6，BM=OA=8，
∴OM=BM-BO=8-6=2，
∵点C在第四象限，
∴C（6，-2）；
（3）当点P在射线AD上运动时，PF²-PC²的值不发生改变．
过点D作DN⊥y轴，垂足为N，如图3，
∵D是BC的中点，
∴DN是△BCM的中位线，
∴DN=$\frac{1}{2}$MC=3，BN=$\frac{1}{2}$BM=4，
∴ON=OB-BN=6-4=2，
∴D（3，2），
设直线AB的关系式为：y_AB=kx+b，
将A（-8，0），B（0，6）代入上式得：
k=$\frac{3}{4}$，b=6，
∴y_AB=$\frac{3}{4}$x+6，
设直线AC的关系式为：y_AC=kx+b，
将A（-8，0），C（6，-2）代入上式得：
k=$-\frac{1}{7}$，b=-$\frac{8}{7}$，
∴y_AC=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{8}{7}$，
设直线AD的关系式为：y_AD=kx+b，
将A（-8，0），D（3，2）代入上式得：
k=$\frac{2}{11}$，b=$\frac{16}{11}$，
∴y_AD=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，
∵EF⊥AC，
∴设直线EF的关系式为：y_EF=7x+b，
∵D点在直线EF上，
∴将D（3，2）代入y_EF=7x+b，得：b=-19，
∴y_EF=7x-19，
将直线AB与直线EF的关系式联立方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+6}\\{y=7x-19}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴F（4，9），
设P（x，y），
∵PF²=（x-4）²+（y-9）²，PC²=（x-6）²+（y+2）²，
∴PF²-PC²=4x-22y+57，
∵P（x，y）在直线AD上，
将P（x，y）代入y_AD=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，得：
y=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，
将y=$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$，代入PF²-PC²=4x-22y+57，得：
∴PF²-PC²=4x-22y+57=4x-22（$\frac{2}{11}$x+$\frac{16}{11}$）+57=25．
∴当点P在射线AD上运动时，PF²-PC²的值不发生改变，PF²-PC²的值是25．

点评此题是一次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数的关系式，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，求两条直线的交点问题，两点间的距离公式等知识，熟记两点间的距离公式是解题的关键．注意：若已知两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），则|AB|=$\sqrt{{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．