Question

5．在正方形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在线段CF上（点E与点C不重合）．
（1）如图1，若点M、A重合，E为CF的中点，试求tan∠ENF的值；
（2）如图2，若点M、A不重合，BN=NE，求证：BN⊥NE；
（3）如图3，在（2）的条件下，当$\frac{CE}{EF}=\frac{1}{2}$，求tan∠ADM的值．

Answer 1

分析 （1）作EG∥CD于G，证明DN=DG=EF=EG，即可得出tan∠ENF的值；
（2）延长BN交CD的延长线于G，作EH⊥CE交CD于H；先证明GN=BN，再证明NE=BN=GN=$\frac{1}{2}$BG，得出∠BEG=90°，然后证明BCE≌△GHE，得出BE=GE，即可得出结论；
（3）设CE=a，则EF=2a，CF=3a，根据题意求出AD、AM即可得出结果．

解答 （1）解：作EG∥CD于G，如图1所示：
∵E为CF的中点，
∴DG=FG=$\frac{1}{2}$DF，EG=$\frac{1}{2}$CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵DF=DC，
∴AD=DF，
∵N为MD的中点，
∴DN=$\frac{1}{2}$AD，
∴DN=DG=EF=EG，
∴tan∠ENF=$\frac{EG}{NG}$=$\frac{1}{2}$；
（2）证明：延长BN交CD的延长线于G，作EH⊥CE交CD于H；如图2所示：
∵N为MD的中点，
∴DN=MN，
∵AB∥CG，
∴$\frac{GN}{BN}=\frac{DN}{MN}$=1，
∴GN=BN，
∵BN=NE，
∴NE=BN=GN=$\frac{1}{2}$BG，
∴∠BEG=90°，
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°，
∴∠BEC=∠GEH，
∵∠CDF=180°-90°=90°，DF=DC，
∴∠DCF=45°，
∴∠CHE=45°，∠BCE=135°，
∴CE=HE，∠GHE=135°，
∴∠BCE=∠GHE，
在△BCE和△GHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠GEH}&{\;}\\{CE=HE}&{\;}\\{∠BCE=∠GHE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GHE（ASA），
∴BE=GE，
∴BN⊥NE；
（3）解：设CE=a，则EF=2a，CF=3a，
∴CD=BC=AB=AD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CH=$\sqrt{2}$a，
∴DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵△BCE≌△GHE，
∴GH=BC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴DG=$\sqrt{2}$a，
∴BM=$\sqrt{2}$a，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴tan∠ADM=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识；难度较大，综合性强，通过作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是解题的难点．