Question

18．已知，如图，BD垂直平分AC，AE⊥AC，交CB的延长线于E，∠ABE=∠DCB．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AE=EB=5，AB=6，求AC的长（BC≠6）

Answer 1

分析 （1）由BD垂直平分AC，得到AD=CD，AB=BC，AO=OC，根据平行线的判定和性质定理推出三角形全等的条件，由三角形全等得到AB=CD，AB=BC=CD=AD，得到四边形ABCD是菱形，得到∴AD∥BE，由AE⊥AC，得到AE∥BD，推出四边形AEBD是平行四边形；
（2）根据勾股定理即可求解．

解答 （!）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AD=CD，AB=BC，AO=OC，
∵∠ABE=∠DCB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCO，∠ABO=∠CD0，
在△ABO与△CDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCO}\\{∠ABO=∠CDO}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB=CD
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AD∥BE，∵AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；

（2）解：由（1）知，四边形AEBD是平行四边形，
∴AD=BE，
∴CE=2BE=10，
∴AC=$\sqrt{{CE}^{2}{-AE}^{2}}$=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．