Question

20．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；  
（2）求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；
（2）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE²；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE²的一半，由此得解．

解答 （1）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∴∠DCF=∠FCH=45°，
∠ECF=90°+45°=135°；
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠AGE=∠ECF=135°}\\{∠GAE=∠FEC}\end{array}\right.$；
∴△AGE≌△ECF；

（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
根据勾股定理得：AE=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴S_△AEF=$\frac{5}{8}$a²．

点评 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．