Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．

（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，

设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，

根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2，

即m2+（2m﹣x）2=x2，

解得：x=m，

∴点D的坐标为：（m，m）；

（2）

解：∵四边形OABC是矩形，

∴OA=2m，OA∥BC，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CE=CD=m，

∴AE=CE=m，

∴OE=OA﹣AE=m，

∵OA∥BC，

∴△OEG∽△CDG，

∴，

即，

解得：m=2，

∴C（0，2），D（，2），

作FH⊥CD于H，如图1所示：

则∠FHC=90°=∠DFC，

∵∠FCH=∠FCD，

∴△FCH∽△DCF，

∴==，

即，

∴FH=，CH=，+2=，

∴F（，），

把点C（0，2），D（，2），F（，）代入y=ax2+bx+c得：

，

解得：a=，b=，c=2，

∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2；

（3）

解：存在；点P的坐标为：（，），或（，）；理由如下：

如图2所示：

∵CD=CE，CE=EA，

∴CD=EA，

∵线段CD的中点为M，∠DFC=90°，

∴MF=CD=EA，点P与点F重合，

∴点P的坐标为：（，）；

由抛物线的对称性得另一点P的坐标为（，）；

∴在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=EA，点P的坐标为：（，），或（，）．

【解析】（1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；
（2）证明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐标，作FH⊥CD于H，证明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=CD=EA，点P与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可．