Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径， ， 连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=，求阴影部分的面积；
（2）求证：DE=DM．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=，OA=OD，

∴OD=CD=，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）

证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【解析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；
（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．
【考点精析】掌握切线的性质定理和扇形面积计算公式是解答本题的根本，需要知道切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．