Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．直线y=x+2经过点A，交抛物线于点D，AD交y轴于点E，连接CD，CD∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线交抛物线第四象限于点F，若tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，P为直线AF上方抛物线上一点，过点P作PH⊥AF，垂足为H，若HE=PE，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得D点的纵坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据正切函数值，可得关于t的方程，根据解方程，可得t的值，根据第四项限内点的横坐标大于零，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得AF的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E点坐标，根据等腰三角形的判定与性质，可得E点是PQ的中点，根据中点的坐标，可得Q点坐标，根据Q点的坐标满足函数解析式，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx+5与y轴交与C，当x=0时，y=5，即C（0，5）；
∵CD∥x轴，
∴D点的纵坐标为5，当y=5时，x+=2=5，解得x=3，D（3，5），
当y=0时，x=-2，A（-2，0）．
抛物线A（-2，0），D（3，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-2）^{2}+b（-2）+5=0}\\{5=a×{3}^{2}+3b+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5；
（2）设F（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+5），过F作FG⊥x轴于点G，则G（t，0），由∠BAF=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，得
AG=2FG．t-（-2）=2×[0-（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+5）]，
化简，得t²-4t-12=0，
解得t₁=-2，t₂=6，
∵F在第四象限，t＞0，t=-2（舍），t=6，即F（6，-4）；
（3）∵A（-2，0），F（6，-4），设直线AF解析式y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-4=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
AF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1；
∵y=x+2交y轴于E点，当x=0时，y═2，即E点坐标为（0，2）；
设直线PE交AF于点Q，∵HE=PE，
∴∠EHP=∠EPH，
∵PH⊥AF于H，
∴∠PHA=90°．
∴∠PQH+∠EHQ=90°，
∴EQ=EH．
∵HE=PE，
∴EQ=EP，即E为PQ中点．
设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5），∵E（0，2），
∴Q（-m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-1）．
∵Q在直线AF上，∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-1=-$\frac{1}{2}$（-m）-1，
整理，得m²=4m，解得m₁=0，m₂=4，当m₁=0时，P₁（0，5），
当m₂=4时，P₂（4，3），
综上所述：P₁（0，5），P₂（4，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用正切函数的出关于t的方程是解题关键；利用等腰三角形的判定与性质得出E点是PQ的中点是解题关键，又利用了图象上的点满足函数解析式．