Question

20．如图，面积为24的?ABCD中，BC=4，E是直线AD上一点，连接BE、CE，则sin∠BEC的最大值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 因为面积为24的?ABCD中，BC=4，所以BC边上的高为6，由题意可知，当EB=EC时，∠BEC的值最大，作EH⊥BC于H，则BH=HC=2，EH=6，求出BM，BE，根据sin∠BEC=$\frac{BM}{EB}$计算即可．

解答 解：∵面积为24的?ABCD中，BC=4，
∴BC边上的高为6，
由题意可知，当EB=EC时，∠BEC的值最大，
作EH⊥BC于H，则BH=HC=2，EH=6，
∴EB=EC=$\sqrt{E{H}^{2}+H{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$•BC•EH=$\frac{1}{2}$•EC•BM，
∴BM=$\frac{6×4}{2\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，
在Rt△EBM中，sin∠BEC=$\frac{BM}{EB}$=$\frac{\frac{6}{5}\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．