Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形；当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得到$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，进而得出CF=$\frac{9}{2}$，根据线段的和差关系可得CN的长．

解答 解：分两种情况：
①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，

∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，
∴∠CDF=∠EFN，
由折叠可得，EF=EB，
∴∠EFN=∠EBN，
∴∠CDF=∠CBD，
又∵∠DCF=∠BCD=90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{CF}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴CF=$\frac{9}{2}$，
∴FN=$\frac{8-\frac{9}{2}}{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴CN=CF+NF=$\frac{9}{2}$+$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$；
②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，

∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，
∴∠CDF=∠CBD，
又∵∠DCF=∠BCD=90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{CF}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴CF=$\frac{9}{2}$，
∴NF=$\frac{8+\frac{9}{2}}{2}$=$\frac{25}{4}$，
∴CN=NF-CF=$\frac{25}{4}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{4}$，
综上所述，CN的长为$\frac{25}{4}$或$\frac{7}{4}$．
故答案为：$\frac{25}{4}$或$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算．解题时注意分类思想的运用．