题目内容

如图，在直角坐标系中，点C（
3
，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒2
3
个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求出点B的坐标；
（2）当t为何值时，△POQ与△COD相似？
（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180°，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线y=ax2+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M．由已知，直接写出：①a的取值范围为______；②点M移动的平均速度是______．
（1）由题意得：OD=1，OC=
3
，由勾股定理得：DC=2．
∵BE是DC的中垂线，
∴DE=1，∠DEB=90°．
在△DEB与△DOC中，
∠BED=∠COD=90°
DE=DO
∠EDB=∠ODC
，
∴△DEB≌△DOC（ASA），
∴BD=DC=2，
∴BO=1，
∴B（0，-1）；

（2）分两种情况：
①当点P在x轴的正半轴上时，
由已知得，CP=2
3
t，OP=CO-CP=
3
-2
3
t，OQ=t．
由题意得：
OP
OD
=
OQ
OC
或
OP
OC
=
OQ
OD
，
即：
3
-2
3
t
1
=
t
3
或
3
-2
3
t
3
=
t
1
，
解得t=
3
7
或t=
1
3
；
②当点P在x轴的负半轴上时，
由题意得：
OP
OD
=
OQ
OC
或
OP
OC
=
OQ
OD
，
即：
2
3
t-
3
1
=
t
3
或
2
3
t-
3
3
=
t
1
，
解得t=
3
5
或t=1．
综上所述：当t=
3
7
或t=
1
3
或t=
3
5
或t=1时，△POQ与△COD相似；

（3）S=S△PQB+S△EQB=
1
2
(1+t)(2
3
t-
3
)+
1
2
(1+t)
3
2
=
3
t2+
3
3
4
t-
3
4
，
即S关于t的函数关系式为：S=
3
t2+
3
3
4
t-
3
4
，
∵点P在x轴负半轴上，
∴t＞
1
2
，
又∵当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，而点Q运动时间为1秒，
∴t≤1，
∴自变量t的取值范围为：
1
2
＜t≤1；

（4）①当P'Q'与BE有公共点时，初始位置点P′与点A重合，A为BE与x轴的交点．
由已知得，OA=
3
3
，OP′=OP=2
3
t-
3
，
∴2
3
t-
3
=
3
3
，
∴t=
2
3
，
终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时t=1，
∴
2
3
≤t≤1．
设P'Q'的中点为F，当t=
2
3
时，F1(
3
6
，-
1
3
)．
把(
3
6
，-
1
3
)代入y=ax2+1，得：a=-16．
当t=1时，F2(
3
2
，-
1
2
)，
把(
3
2
，-
1
2
)代入y=ax2+1，得：a=-2，
∴a的取值范围为：-16≤a≤-2；
②初始位置的抛物线为y=-16x2+1，此时M1(
1
4
，0)，
终止位置的抛物线为y=-2x2+1，此时M2(
2
2
，0)，
∴M1M2=
2
2
-
1
4
，
∵移动的时间为
1
3
秒，
∴点M移动的平均速度为每秒(
3
2
2
-
3
4
)个单位．
故答案为-16≤a≤-2；每秒(
3
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1
2
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（2）求此抛物线的关系式．

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