Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出该抛物线的对称轴及顶点D的坐标；
（3）若点P在抛物线上运动（点P异于点D），当△PAB的面积和△DAB面积相等时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得

-1+b+c=0 c=-3

，
解得

b=4 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（2）∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴对称轴为直线x=2，
顶点D的坐标为（2，1）；

（3）∵△PAB的面积和△DAB面积相等，
∴点P的纵坐标与点D的纵坐标的绝对值相等，
∵点P异于点D，
∴点D的纵坐标为-1，
当y=-1时，-x²+4x-3=-1，
整理得，x²-4x+2=0，
解得x₁=2+

2

，x₂=2-

2

，
点P的坐标为（2+

2

，-1）或（2-

2

，-1）．