Question

如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y=ax²+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C：
①当n=3时a=______；
②a关于n的关系式是______．

Answer 1

①如图当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，
过C作CD⊥OB于点D，
则Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴

OD

CD

=

OC

BC

=

1

3

，
设OD=t，则CD=3t，
∵OD²+CD²=OC²，
∴（3t）²+t²=1²，∴t=

1 10

=

10

10

∴C（

10

10

，

3

10

10

），又B（

10

，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得

0=10a+ 10 b 3 10 10 = 1 10 a+ 10 10 b

解得：a=-

10

3

，
故答案为：-

10

3

．
②当n=2时，OC=1，BC=2，
∴OB=

5

，
∴1×2=

5

CD，B（

5

，0）
∴CD=

2 5

5

，
∴OD=

5

5

，
∴C（

5

5

，

2 5

5

）
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，
∴

0=5a+ 5 b 2 5 5 = 1 5 a+ 5 5 b

，
解得：a=-

5

2

；
同理当n=4时，a=-

17

4

；
∴可以得出a关于n的关系式是：a=-

n2+1

n

．

故答案为：-

10

3

，a=-

n2+1

n

．