题目内容
在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：
如图2，在非等边△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，且AD，CE交于点F，求证：AC=AE+CD．
如图2，在非等边△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，且AD，CE交于点F，求证：AC=AE+CD．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：在AC上截取AG=AE，连接FG，根据“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形对应边相等可得FE=FG，再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3=60°，从而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根据平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FD，从而得证．
解答：证明：如图，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线，
∴∠1=∠2，3=∠4
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，
∵∠B=60°
∴∠BAC=∠ACB=120°，
∴∠2+∠3=
（∠BAC+∠ACB）=60°，
∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60，
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴CG=CD，
∴AC=AG+CG=AE+CD．
∵AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线，
∴∠1=∠2，3=∠4
在△AEF和△AGF中，
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∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，
∵∠B=60°
∴∠BAC=∠ACB=120°，
∴∠2+∠3=
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∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60，
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△CFG和△CFD中，
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∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴CG=CD，
∴AC=AG+CG=AE+CD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，根据所求角度正好等于60°得到角相等是解题的关键．
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