Question

12．如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．

Answer 1

分析 如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．

解答 证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠MEF=∠P
同理可证：FM∥CD，FM=$\frac{1}{2}$CD．
∴∠MFQ=∠CQF，
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．

点评 此题考查的是三角形中位线的性质、等腰三角形判定和性质等知识，解题的关键是题目中出现中点的条件想到添加三角形的中位线作为辅助线，属于中考常考题型．