Question

2．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系∠A+∠D=∠C+∠B；；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）∠A、∠B、∠C、∠D所在的两个三角形中，有一对对顶角相等，根据三角形的内角和定理得出数量关系；
（2）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（3）根据（2）中的方法，即可求得∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系．

解答 解：（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：∠A+∠D=∠C+∠B；
故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）可知，∠1+∠D=∠P+∠3，①
∠4+∠B=∠2+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=40°，∠B=36°，
∴2∠P=40°+36°=76°，
∴∠P=38°；
（3）∠P与∠D、∠B之间存在的关系为2∠P=∠D+∠B． 
∵∠1+∠D=∠P+∠3，①
∠4+∠B=∠2+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P=∠D+∠B．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的定义，考核了学生的阅读理解与知识的迁移能力．解决问题的关键是根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律，以及直接运用“8字形”中的角的规律解题．