Question

16．【发现】
如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

【思考】
如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？
请证明点D也不在⊙O内．
【应用】
利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：
若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．
（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；
（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=$\frac{2}{5}$，AD=1，求DG的长．

Answer 1

分析 【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；
【应用】（1）作出RT△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；
（2）根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形ACGD是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．

解答 解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
所以点D也不在⊙O内，
所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；

【应用】
（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，
∵∠CAD=∠DEC=90°，
∴点E在⊙O上，
∴∠ACD=∠AED，
∵∠FDA=∠AED，
∴∠ACD=∠FDA，
∵∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠FDA+∠ADC=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；
（2）∵∠BGE=∠BAC，
∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，
又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，
∴点G在⊙O上，
∵CD是直径，
∴∠DGC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=90°
∵∠DAC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴DG=AC，
∵sin∠AED=$\frac{2}{5}$，∠ACD=∠AED，
∴sin∠ACD=$\frac{2}{5}$，
在RT△ACD中，AD=1，
∴CD=$\frac{5}{2}$，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴DG=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．