Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．
（1）求点B、点D的坐标，
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）由顶点坐标和A点坐标，可求得抛物线的解析式，容易求出B、D的坐标；
（2）根据点的坐标，利用勾股定理可求得AD、AC、CD的长，可判断△ACD的形状

解答 解：
（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
∵与x轴交于点A（3，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
令y=0，可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，令x=0，可得y=3
∴B点坐标为（-1，0），D点坐标为（0，3）；
（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD²+CD²=（3$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=20=（2$\sqrt{5}$）²=AC²，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3．

点评 本题主要考查待定系数法及勾股定理的逆定理，根据抛物线的顶点坐标写出其顶点式求得抛物线的解析式是解题的关键．