Question

【问题背景】
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△GF，可得出结论，他的结论应是

 

．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

1

2

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（3）延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE=BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论．

解答：（1）解：如图1，
在△ABE和△ADG中，
∵

DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=

1

2

∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF．

（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵

DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=

1

2

∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，
在△AEB与△CGB中，
∵

AE=CG ∠A=∠BCG AB=BC

，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．
∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠CBF+∠CBG=45°．
在△EBF与△GBF中，
∵

BE=BG ∠EBF=∠GBF BF=BF

，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF=GF，
∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=4+4=8．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．