Question

2．$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$的正整数解有（　　）组．

• A． 0
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 从x，y，z是正整数入手，确定它们倒数的取值范围，从而确定x，y的取值，进而得出z的取值．

解答 解：∵x，y，z是正整数，并且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$＜1
∴x，y，z都＞1，不妨设1＜x≤y≤z，
∴$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{y}$≥$\frac{1}{z}$，于是$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{x}$，即$\frac{1}{x}$＜$\frac{4}{5}$≤$\frac{3}{x}$，
∴$\frac{5}{4}$＜x≤$\frac{15}{4}$，可确定x=2或3，
当x=2时，得$\frac{1}{y}$＜$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{10}$≤$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{y}$，
即$\frac{1}{y}$＜$\frac{3}{10}$≤$\frac{2}{y}$，
∴$\frac{10}{3}$＜y≤$\frac{20}{3}$，可知y=4或5或6．
当x=3时，由$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{15}$得：$\frac{1}{y}$＜$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{7}{15}$≤$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{y}$，
即$\frac{1}{y}$＜$\frac{7}{15}$≤$\frac{2}{y}$，
∴$\frac{15}{7}$＜y≤$\frac{30}{7}$，可知y=3或4，
当x=2，y=4时，z=20；
当x=2，y=5时，z=10；
当x=2，y=6时，z=7.5（舍去）；
当x=3，y=3时，z=7.5（舍去）；
当x=3，y=4时，z=$\frac{60}{13}$（舍去）；
因此，当1＜x≤y≤z时，（x，y，z）为（2，4，20），（2，5，10），共2组，
由于x，y，z在方程中地位平等，所以可得12组解为（2，4，20），（2，20，4），（4，2，20），（4，20，2），（20，2，4），（20，4，2），（2，5，10），（2，10，5），（5，2，10），（5，10，2），（10，2，5），（10，5，2）．
故选：C．

点评 此题主要考查了非一次不定方程（组），分式方程整数根的求法，以及利用极值法确定未知数的范围，题目综合性较强．