Question

10．已知a、b是方程x²-3x+m-1=0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A（a，0）、B（0，b），以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系可得a+b=3，由勾股定理可得出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，根据完全平方公式可得出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），代入a+b的值即可得出AB的最小值，再结合半径与直径的关系即可得出结论．

解答 解：∵a、b是方程x²-3x+m-1=0（m≠1）的两根，
∴a+b=3．
∵A（a，0）、B（0，b），
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵（a+b）²=a²+b²-2ab≥0，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），当a=b时，取等号．
∴⊙M的半径的最小值为$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系、勾股定理以及两点间的距离公式，利用完全平方公式找出AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）是解题的关键．