Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC，且BD=BC=2AD，点E为AD的中点，连BE，对角线AC分别交BE、BD于点F、G．下列结论：
①DF平分∠ADB；②S_△BDF=4S_△DEF；③CF=4AF；④2S_△CDG=5S_△BFG，
其中正确的结论是（　　）

• A、①②③④
• B、①③④
• C、①②④
• D、②③

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,角平分线的性质,梯形

专题：

分析：①过F作FM⊥AD于M，FN⊥BD于N，先根据平行线分线段定理求得FM=

1

5

BD，FN=

1

5

BD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可求得结论，故①正确；
②根据EF：FB=1：4，△DEF和△BDF的高相等，即可证明结论，故②正确；
③根据平行线分线段定理即可证明结论，故③正确；
④由①可知FM=

1

5

BD，DG=

1

3

BD，得出BN=

4

5

BD，BG=

2

3

BD，设BD=BC=a，然后根据三角形面积公式求得S_△BCF=

1

2

BC•BN=

1

2

×a×

4

5

a=

2

5

a²，S_△BDC=

1

2

BC•BD=

1

2

a²，S_△BCG=

1

2

BC•BG=

1

2

a•

2

3

a=

1

3

a²，然后用S_△BDC-S_△BCG，S_△BCF-S_△BCG求得△CDG和△BFG的面积，最后求得2S_△CDG和5S_△BFG的值即可得出结论，故④正确．

解答：解：①、如图，过F作FM⊥AD于M，FN⊥BD于N，
∵BD=BC=2AD，点E为AD的中点，
∴BD=BC=4AE=4ED，
∵AD∥BC，
∴AD：BC=DG：GC=1：2，AE：BC=AF：FC=EF：FB=1：4，
∴AF：AC=1：5，AG：AC=1：3，DG：BD=1：3，BF：EB=4：5
∴AF：AG=3：5，
∵FM⊥AD，FN⊥BD，BD⊥BC，
∴FM∥BD，FN∥AD，
∴FM：DG=AF：AG=3：5，FN：ED=BF：BE=4：5，
∵DG=

1

3

BD，ED=

1

4

BD，
∴FM=

1

5

BD，FN=

1

5

BD，
∴FM=FN，
∴DF平分∠ADB；
故①正确；
②、∵EF：FB=1：4，△DEF和△BDF的高相等，
∴S_△BDF=4S_△DEF，
故②正确；
③、∵AD∥BC，AE=

1

2

AD，BC=2AD，
∴AF：FC=AE：BC=1：4，
∴CF=4AF；
故③正确；
④、∵FM=

1

5

BD，DG=

1

3

BD
∴BN=

4

5

BD，BG=

2

3

BD，
设BD=BC=a，
∴S_△BCF=

1

2

BC•BN=

1

2

×a×

4

5

a=

2

5

a²，S_△BDC=

1

2

BC•BD=

1

2

a²，S_△BCG=

1

2

BC•BG=

1

2

a•

2

3

a=

1

3

a²，
∴S_△CDG=S_△BDC-S_△BCG=

1

6

a²，S_△BFG=S_△BCF-S_△BCG=

1

15

a²，
∴2S_△CDG=

1

3

a2，5S_△BFG=

1

3

a2，
∴2S_△CDG=5S_△BFG，
故④正确；
故选A．

点评：本题考查了梯形的性质、平行线分线段定理，角的平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握平行线分线段定理，角的平分线的性质定理的逆定理是本题的关键．