Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，BD为边AC上的中线，点E在边BC上，且BE：BC＝3：8，点P在Rt△ABC的边上运动，当PD：AB＝1：2时，EP的长为_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

根据直角三角形的性质得到ABAC=4，BC=4，∠A=60°，过D作DF⊥AB于F，则DF∥BC，由直角三角形的性质得到AD=CD=BD，得到DF的长，当PD：AB=1：2时，点P在AC和BC上，然后分三种情况讨论：①当点P在BC上，②当P点在线段AD上时，③当P点在线段CD上时．

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=8，∴ABAC=4，BC=4，∠A=60°．

∵PD：AB=1：2，∴PD=2．

过D作DF⊥AB于F，则DF∥BC．

∵BD为边AC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AF=BF，∴DF=2．

∵点P在Rt△ABC的边上运动，PD=2＜2，∴当PD：AB=1：2时，点P在AC和BC上．

①当点P在BC上．

∵PD=2AB，∴P为BC的中点，∴BPBC=2．

∵BE：BC=3：8，∴BE，∴EP=BP﹣BE；

②当P点在线段AD上时．

∵PD=2，AD=4，∴P为AD的中点，∴AP=2，过P作PG⊥BC于G，∴PG∥AB，∴△CPG∽△CAB，∴，∴，∴PG=3，CG=3，∴GE，∴PE；

③当P点在线段CD上时．

∵PD=2，CD=4，∴PC=2，过P作PH⊥BC于H，∴PH=1，CH，∴EH，∴PE．

综上所述：EP的长为或或．

故答案为：或或．