Question

【题目】在平面直角坐标系内，二次函数与一次函数（a，b为常数，且）．

（1）若y1，y2的图象都经过点（2，3），求y1，y2的表达式；

（2）当y2经过点时，y1也过A，B两点：

①求m的值；

②分别在y1，y2的图象上，实数t使得“当或时，”,试求t的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①m=－2；②

【解析】

（1）点（2，3）分别代入y1=ax2+（2﹣a）x+1与一次函数y2=﹣ax+b﹣1，即可求出a与b的值；

（2）①将点A（1，3），B（m，3a+3）代入y2=﹣ax+b﹣1，即可求解；

②将点A（1，3），B（m，3a+3）代入y1=ax2+（2﹣a）x+1，结合①能确定a与b的值，进而确定函数解析式y1=2x2+1，y2=﹣2x+5，由已知得到2x02+1＞﹣2x0+5，x0＞1或x0＜﹣2，结合已知条件得到﹣t+3≤﹣2或2t﹣3≥1，进而确定t的取值范围．

（1）点（2，3）分别代入y1=ax2+（2﹣a）x+1与一次函数y2=﹣ax+b﹣1，得到：a=﹣1，b=2，∴y1=﹣x2+3x+1，y2=x+1；

（2）①将点A（1，3），B（m，3a+3）代入y2=﹣ax+b﹣1，∴，∴m=﹣2，b﹣a=4；

②将点A（1，3），B（m，3a+3）代入y1=ax2+（2﹣a）x+1，∴，∴a=2，∴b=6，∴y1=2x2+1，y2=﹣2x+5．

∵（x0，y1），（x0，y2）分别在y1，y2的图象上，∴y1=2x02+1，y2=﹣2x0+5．

∵y1＞y2，∴2x02+1＞﹣2x0+5，∴（x0﹣1）（x0+2）＞0，∴x0＞1或x0＜﹣2；

∵当x0＜﹣t+3或x0＞2t﹣3时，y1＞y2，∴﹣t+3≤﹣2或2t﹣3≥1，∴t≥5；

∴t的最小值是5．