Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=OB=4，经过点O、A的抛物线y=ax²+bx交AB于点C，点C的横坐标为1，点P在线段AB上，当点P与点A，C均不重合时，过点P与x轴垂直的直线交此抛物线于点Q，以PQ为边向右作矩形PQMN，且PN=1，设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）当矩形PQMN有两个顶点同时落在此抛物线上时，求点P的坐标；
（3）设矩形PQMN的周长为d，求d与m之间的函数关系式；并直接写出当d随着m的增大而增大时，m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A、C的坐标代入函数解析式求得系数a、b的值即可；
（2）由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征求得P、Q的坐标，依据矩形的性质从而得到点M、N的坐标，分两种情况进行解答：点Q、N同时在抛物线线上和点Q、M同时在抛物线线上；
（3）对m的取值范围需要分类讨论：0≤m＜1，1＜m＜4两种情况来解答．

解答 解：（1）由题可得A（4，0），C（1，3），且A、C在抛物上y=ax²+bx，则
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴此抛物线对应的函数表达式是y=-x²+4x．

（2）由题可得P（m，-m+4），Q（m，-m²+4m），M（m+1，-m²+4m），N（m+1，-m+4）．
①当点Q、N同时在抛物线上时．-（m+1）²+4（m+1）=-m+4，
解得m=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∴P₁（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），P₂（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）；
②当点Q、M同时在抛物线上时，QM=1，P₃（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
（3）①当0≤m＜1 时，d=2（-m+4+m²-4m）+2=2m²-10m+10．
∵a=2＞0，
∴当m＞2.5时，才能存在d随着m的增大而增大，而此种情况与0≤m＜1不符合，
∴不存在．
②当1＜m＜4时，d=2（m-4-m²+4m）+2=-2m²+10m-6．
∵a=-2＜0，
∴当1＜m≤2.5时，d随着m的增大而增大．

点评 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．