Question

13．等腰直角△ABC与等腰直角△CDE如图放置，∠ACB=90°，CA=CB，∠CED=90°，EC=ED，点G是BD的中点，连接EG且延长交BC于H，连接CG且延长AB于F，连接EF．
（1）求证：HC=AE．
（2）求证：EF∥HC．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△BGH≌△DGE，则BH=ED，又EC=ED，可知BH=ED，根据BC=AC，可证明结论；
（2）先证明△BGF≌△DGC，得到GF=GC，再证明△FGE≌△CGH，得出∠EFG=∠HCG，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，∠CED=90°，
∴ED∥BH，∠CBD=∠BDE．
在△BGH和△DGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠BDE}\\{BG=GD}\\{∠DGE=∠BGH}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△DGE，
∴BH=ED，
∵EC=ED，
∴BH=EC，
∵BC=AC，
∴HC=AE；

（2）∵∠A=∠ACD=45°，
∴AB∥CD，∠ABD=∠BDC．
在△BGF和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠BDC}\\{BG=DG}\\{∠BGF=∠DGE}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△DGC，
∴GF=GC．
∵△BGH≌△DGE，
∴GE=GH．
在△FGE和△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=GC}\\{∠FGE=∠CGH}\\{GE=GH}\end{array}\right.$，
∴△FGE≌△CGH，
∴∠EFG=∠HCG，
∴EF∥HC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，熟练的掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．