Question

19．如图一个矩形减去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比值为（　　）

• A． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$

Answer 1

分析 根据相似多边形的对应边成比例列出方程，解方程即可得到答案．

解答 解：设矩形的长是a，宽是b，
∵剩下的矩形与原矩形相似，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a-b}$，
整理得：a²-ab-b²=0，
两边同除以b²，得（$\frac{a}{b}$）²-$\frac{a}{b}$-1=0，
解得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去）．
∴长与宽的比为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的性质列出方程，解方程是解决本题的关键．