Question

20．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=30°；∠E=60°．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义、三角形内角和定理进行计算即可．

解答 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
而∠BOC=120°，
∴∠A=60°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=$\frac{1}{2}∠$A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，E是外角平分线交点，
∴∠ABE=∠ACE=90°，
∴∠E=180°-120°=60°，
故答案为：30°；60°．

点评 本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．