Question

14．数学活动-探究线段之间的关系．问题情境：
活动课上，小颖向同学们提出一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BA，DA的延长线上，且AE=AF，连接EF，BF，DE，M是DE的中点，连接AM．判断线段AM与BF之间的数量关系．并说明理由．
独立思考：
（1）请你解答小颖提出的问题
合作交流：
（2）解决完（1）之后，小彬将△AEF从图1的位置开始绕点A顺时针旋转（其余条件不变），当旋转角小于90°时（如图2），小彬猜想（1）中的结论仍然成立．为证明这一猜想，同学们展开讨论，大家发现需要构造与AM，BF有关的“新”线段．请你参考同学们的思路证明小彬的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠DAB=∠FAB=∠EAD=90°，根据全等三角形的性质得到BF=DE，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，延长AM到G，使AM=MG，连接EG，推出四边形EADG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DG=AE=AF，∠EAD+∠ADG=180°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）结论：AM=$\frac{1}{2}$BF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠FAB=∠EAD=90°，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠EAD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF=DE，
在Rt△AED中，∵EM=MD，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE，
∴AM=$\frac{1}{2}$BF；
（2）如图2，延长AM到G，使AM=MG，连接EG，
∵EM=MD，AM=MG，
∴四边形EADG是平行四边形，
∴DG=AE=AF，∠EAD+∠ADG=180°，AM=$\frac{1}{2}$AG，
∵∠FAB+∠EAD=180°，
∴∠FAB=∠ADG，
在△FAB与△GDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠FAB=∠ADG}\\{DG=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△GDA，
∴AG=FB，
∴AM=$\frac{1}{2}$BF．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键，