Question

1．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且D、E、C三点在一直线上．若AD=AE=1，DE=2EC，则BC=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接BD，根据等腰直角三角形的性质得到DE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，求得CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，通过△ADB≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠AEC=∠ADB，求得∠BDC=90°，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：连接BD，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∵DE=2EC，
∴CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=90°-∠BAE，∠CAE=90°-∠BAE，
∴∠DAB=∠CAE，
在△ADB与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ACE，
∴BD=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠AEC=∠ADB，
∵∠AEC=135°，
∴∠ADB=135°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．