Question

如图，已知，在平面直角坐标系内，点B的坐标为（6，8），过点B分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为C、A，抛物线y=-

4

9

x²+bx+c经过A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
（3）①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=-

4

9

x²+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使得△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-

4

9

x²+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，配方后即可确定最大值；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．

解答：解：（1）∵点B的坐标为（6，8），过点B分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为C、A，
∴点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0），
∴将A、C两点坐标代入抛物线，得

c=8 - 4 9 ×36+6b+c=0

，
解得：

b= 4 3 c=8

，
∴抛物线的解析式为y=-

4

9

x²+

4

3

x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC═10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴

QE

10-m

=

3

5

，
∴QE=

3

5

（10-m），
∴S=

1

2

•CP•QE=

1

2

m×

3

5

（10-m）=-

3

10

m²+3m=-

3

10

（m-5）²+

15

2

，
∴当m=5时，有最大面积；

②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=-

4

9

x²+

4

3

x+8的对称轴为x=

3

2

，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F₁（

3

2

，8），
当∠FQD=90°时，则F₂（

3

2

，4），
当∠DFQ=90°时，设F（

3

2

，n），
则FD²+FQ²=DQ²，
即

9

4

+（8-n）²+

9

4

+（n-4）²=16，
解得：n=6±

7

2

，
∴F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F₁（

3

2

，8），F₂（

3

2

，4），F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．