Question

九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，得知某种商品的进价为每件30元，在第25天中销量为150件，在第55天中销量为90件，销量y（件）与销售第x天成一次函数关系，设该商品每天利润为w元，并且整理出销售过程中第x（1≤x≤90）天与售价的关系信息如表．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出w与x的函数关系式；
（3）请说明销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（4）请说明该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？

时间x	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x+40	90

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据销量y（件）与销售第x天成一次函数关系，即可求得y与x的函数关系式；
（2）根据单价乘以数量，可得利润，即可解题；
（3）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，即可解题；
（4）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，即可解题．

解答：解“（1）∵在第25天中销量为150件，在第55天中销量为90件，销量y（件）与销售第x天成一次函数关系，
设一次函数解析式为y=kx+b，
将（25，150）和（55，90）代入y=kx+b得：
k=-2，b=200，
∴y与x的函数关系式为y=-2x+200；
（2）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x²+180x+200，
当50≤x≤90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，
综上所述：y=

-2x2+180x+2000(1≤x＜50) -120x+12000(50≤x≤90)

；
（3）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．
（4）当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．

点评：本题考查了一次函数解析式的求解，考查了二次函数解析式的求解，考查了二次函数的实际应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键．