平面上.矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放.分别延长DA和QP交于点O.且∠DOQ=60°.OQ=OD=3.OP=2.OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定.将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转.设旋转角为α．发现:如图2.当点P恰好落在BC边上时.求a的值即阴影部分的面积,拓展:如图3.当线段OQ与CB边交于点M.与BA边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．

发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．

分析首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，则可求得∠RKQ的度数，于是求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF，则可求出x的取值范围；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．

解答解：发现：如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，
过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60°-30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S_扇形KRQ=$\frac{60π×（{\frac{1}{2}）}^{2}}{360}$=$\frac{π}{24}$，
在Rt△RKE中，RE=RK•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△PRK=$\frac{1}{2}$•RE=$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
∴S_阴影=$\frac{π}{24}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$；

拓展：如图5，
∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，
∴△AON∽△BMN，
∴$\frac{AN}{BN}=\frac{AO}{BM}$，即$\frac{1-BN}{BN}=\frac{1}{x}$，
∴BN=$\frac{x}{x+1}$，
如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=$\sqrt{O{Q}^{2}-Q{F}^{2}}$-AO=2$\sqrt{2}$-1，
∴x的取值范围是0＜x≤2$\sqrt{2}$-1；

探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在R_t△OSK中，
OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2$\sqrt{3}$，KO′=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG=$\frac{1}{2}$KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△OGK中，sinα=$\frac{KG}{OK}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα=$\frac{KG}{OK}$=$\frac{\frac{1}{2}O′K}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（O′T-KT）}{\frac{5}{2}}$=$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，
∴α=60°，
∴sinα=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
综上所述sinα的值为：$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$或$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．