Question

9．如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则$\frac{CC'}{{{B}{B}'}}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$（结果保留根号）．

Answer 1

分析 先连接AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB'∽△ACC'，可得到$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$，设AB=AB'=x，则AG=$\sqrt{2}$x，DG=x-4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程7²+（x-4）²=（$\sqrt{2}$x）²，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．

解答 解：连接AC，AG，AC'，
由旋转可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AB′}{AC′}$，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，
∴△AB'G是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2}$AB'，
设AB=AB'=x，则AG=$\sqrt{2}$x，DG=x-4，
∵Rt△ADG中，AD²+DG²=AG²，
∴7²+（x-4）²=（$\sqrt{2}$x）²，
解得x₁=5，x₂=-13（舍去），
∴AB=5，
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴$\frac{CC′}{BB′}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将$\frac{CC′}{BB′}$转化为$\frac{AC}{AB}$，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB，这也是本题的难点所在．