Question

7．如图，△ABC中，AB=AC，D，E分别是BC，AB的中点，作BF⊥AC且使BF=AC，BG平分∠ABF．
（1）判断△BDG的形状，并证明你的结论；
（2）求证：△DGE∽△BCF．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质，可得∠FBA+∠BAC=90°，根据等式的性质，可得∠GBF+∠CBF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABF）=45°，根据等腰直角三角形的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠EDA=∠EAD=∠CBF，根据等量代换，可得BG=BD=$\frac{1}{2}$BC，ED=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF，根据相似三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）△BDG是等腰直角三角形，
证明：∵BF⊥AC，
∴∠FBA+∠BAC=90°．
∵AB=AC，BD=DC，
∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DAC=DBF．
∵∠GBF=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠GBF+∠CBF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABF）=45°，
∴∠BGD=45°，
∴∠DBG=∠BGD，
∴DB=DG，
∴△BDG是等腰直角三角形；
（2）∵EA=EB=ED，
∴∠EDA=∠EAD=∠CBF．
∵BG=BD=$\frac{1}{2}$BC，ED=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF，
∴$\frac{GD}{BC}$=$\frac{ED}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DGE∽△BCF

点评 本题考查了相似三角形的判定，（1）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等式的性质，等腰直角三角形的判定；（2）利用了等腰三角形的性质，等量代换，利用等量代换得出BG=BD=$\frac{1}{2}$BC，ED=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF是解题关键．