Question

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，以C为圆心，r为半径作圆．
（1）当r=3时，直线AB和⊙C的位置关系是相交；
（2）当r满足$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，⊙C与斜边AB有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB的长，根据面积公式求出CD的长，根据d＜r，则直线与圆相交解答即可；
（2）根据d=r，则直线于圆相切解答即可．

解答 解：（1）作CD⊥AB于D，
∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×CD，
解得，CD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜3，
∴直线AB和⊙C相交；
（2）当r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，直线AB和⊙C相切，
即⊙C与斜边AB只有一个公共点，
当2＜r≤4时，⊙C与斜边AB有两个公共点，
故答案为：（1）相交；（2）$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或2＜r≤4．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，圆心到A直线的距离d，半径为r，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．