Question

已知等边△ABC中，D为AC上一点，以DC为边作等边△CDE，连接AE，交BD的延长线与点F，连接CF．
（1）求证：∠BFC=∠EFC；
（2）当AD=3，CD=5时，求BF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）作CM⊥AE，CN⊥AE，DK⊥BC，根据等边三角形的性质得出BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=60°，进而证得△BCD≌△ACE，根据全等三角形对应高相等得出CE=CN，即可证得CP平分∠BFE，即∠BFC=∠EFC；
（2）由）△BCD≌△ACE，得出∠CBF=∠CAE，根据三角形的外角的性质即可求得∠BFE=120°，由于∠BFC=∠EFC，所以∠MFC=60°，然后根据解直角三角形和勾股定理即可求得KC，BK，DK，BD，根据三角形的面积求得CM，进而求得MF，即可求得BF的值．

解答：解：（1）证明：作CM⊥AE，CN⊥AE，DK⊥BC，
∵等边△ABC中，D为AC上一点，以DC为边作等边△CDE，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=60°，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠BCD=∠ACE DC=CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴CE=CN，（全等三角形对应高相等）
∴CP平分∠BFE，
∴∠BFC=∠EFC；
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBF=∠CAE，
∴∠BFE=∠ABF+∠BAF=∠BAC+∠CAE+∠ABF=∠BAC+∠CBF+∠ABF=∠BAC+∠ABC=60°+60°=120°，
∵AD=3，CD=5，
∴BC=AC=8，
在RT△DCK中，DK=sin60°•DC=

3

2

×5=

5 3

2

，KC=

1

2

DC=

5

2

，
在RT△DKB中，BK=BC-CK=8-

5

2

=

11

2

，DB=

BK2+DK2

=7，
∵S_△BDC=

1

2

BC•DK=

1

2

BD•CM，
∴CM=

BC•DK

BD

=

8× 5 3 2

7

=

20 3

7

，
∴BM=

BC2-CM2

=

44

7

，
∵∠BFC=∠EFC，∠BFE=120°，
∴∠MFC=60°，
在RT△MCF中，MF=cot60°•CM=

3

3

×

20 3

7

=

20

7

，
∴BF=BM+MF=

44

7

+

20

7

=

64

7

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形以及勾股定理的应用，角的平分线的性质定理的逆定理等，作出辅助线构建直角三角形是关键．