Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是1.5．

Answer 1

分析 连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出CE=DE，由线段垂直平分线的性质得出CF=DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴CE=DE，BD=AB-AD=2，
∴CF=DF，
在△ADF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4-x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF²+BD²=BF²，
即x²+2²=（4-x）²，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为：1.5．

点评 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．