Question

6．小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{6}$≈2.449）

Answer 1

分析 （1）先利用平行线的性质得∠ACM=∠DAC=15°，再利用平角的定义计算出∠ACB=105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数；
（2）作CH⊥AB于H，如图，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=100$\sqrt{2}$，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=$\sqrt{3}$CH=100$\sqrt{6}$，AB=AH+BH=100$\sqrt{2}$+100$\sqrt{6}$，然后进行近似计算即可．

解答 解：（1）∵CM∥AD，
∴∠ACM=∠DAC=15°，
∴∠ACB=180°-∠BCN-∠ACM=180°-60°-15°=105°，
而∠BAC=30°+15°=45°，
∴∠ABC=180°-45°-105°=30°；
（2）作CH⊥AB于H，如图，
∵∠BAC=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×200=100$\sqrt{2}$，
在Rt△BCH中，∵∠HBC=30°，
∴BH=$\sqrt{3}$CH=100$\sqrt{6}$，
∴AB=AH+BH=100$\sqrt{2}$+100$\sqrt{6}$≈141.4+244.9≈386．
答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．解决此题的关键作CH⊥AB构建含特殊角的直角三角形．