Question

15．如图，P为正方形ABCD边CD上任一点，BG⊥AP于G，E为AP上一点，使AG=EG，连接BE、CE
（1）求证：BE=BC；
（2）∠CBE的平分线交AE延长于点N，连接DN，求证：BN+DN=$\sqrt{2}$AN．
（3）若正方形边长为2，当P为CD的中点时，直接写出CE长为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线性质得：AB=BE，又因为正方形ABCD的边长相等，根据等量代换可得结论；
（2）作辅助线，构建两三角形全等，得AG=DH，BG=AH，再证明△BGN和△DHN是等腰直角三角形，得BN=$\sqrt{2}$BG，DN=$\sqrt{2}$HN，相加即可；
（3）连接CN，证明△DHP≌△CNP，根据勾股定理求AP的长，再由面积相等求DH的长，则NC=DH，最后由等腰直角三角形求出CE的长．

解答 证明：（1）如图1，∵AG=EG，BG⊥AP于G，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∴BC=BE；
（2）过D作DH⊥AN于H，
∵AB=AD，∠AGB=∠AHD=90°，∠BAG=∠ADH，
∴△ABG≌△DAH，
∴BG=AH，AG=DH，
∵∠ABG=∠EBG，∠EBN=∠CBN，
∴∠ABG+∠CBN=∠EBG+∠EBN，
∴∠ABC=90°，
∴∠GBN=45°，
∴△BGN是等腰直角三角形，
∴BN=$\sqrt{2}$BG，BG=NG，
∴AH-GH=NG-GH，
∴AG=HN=DH，
∴△DHN也是等腰直角三角形，
∴DN=$\sqrt{2}$HN，
∴AN=AH+HN=BG+HN，
∴$\sqrt{2}$BG+$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AN，
∴BN+DN=$\sqrt{2}$AN；
（3）如图3，连接CN，由勾股定理得：AP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S△ADP=$\frac{1}{2}$AD•DP=$\frac{1}{2}$AP•DH，
∴DH=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵DP=PC，∠DPH=∠CPN，∠DHP=∠PNC=90°，
∴△DHP≌△CNP，
∴CN=DH，
∵BE=BC，BN平分∠EBC，
∴BN⊥EC，
∴CE=$\sqrt{2}$CN=$\sqrt{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、等腰直角三角形的性质和判定，若题目中出现$\sqrt{2}$倍的关系，首先要考虑应该放在等腰直角三角形中，因为等腰直角三角形的斜边是任一直角边的$\sqrt{2}$倍；因此第二问的和的关系，要把三条线段转化为一条线段，还要放在等腰直角三角形中．