Question

14．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{4}{3}$x²+bx-4与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线上有一动点P，点P的横坐标为m，且-3＜m＜0，过点P作y轴的平行线分别交x轴和直线AC于点D和E．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式．
（2）连接PC，求出当△PEC是直角三角形时m的值．
（3）如图2，连接BC，则在第二象限内是否存在一点M，使得四边形PCBM是矩形？如果存在，直接写出此时点P和点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入y=$\frac{4}{3}$x²+bx-4中求出b即可得到抛物线的解析式，则利用解方程$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4=0得A（-3，0），再确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）如图1，讨论：当∠EPC=90°时，PC∥x轴，则点P与点C为抛物线上的对称点，利用抛物线的对称性可确定此时P点坐标，从而得到此时m的值；当∠ECP=90°，则EC⊥PC，根据来那个直线垂直，一次项系数互为负倒数得到直线PC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-4，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-4}\end{array}\right.$得P点坐标，从而得到即此时m的值；
（3）如图2，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=4x-4，再根据PC⊥BC得到直线PC的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x-4，于是解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=-\frac{1}{4}x-4}\end{array}\right.$得P点坐标，然后利用点C平移到点P的规律，写出点B平移到点M的规律，从而得到M点坐标．

解答 解：（1）把B（1，0）代入y=$\frac{4}{3}$x²+bx-4得$\frac{4}{3}$+b-4=0，解得b=$\frac{8}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4，
当y=0时，$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4=0，解得x₁=-3，x₂=1，则A（-3，0），
当x=0时，y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4=-4，则C（0，-4），
设直线AC的解析式为y=kx+n，
把A（-3，0），C（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+n=0}\\{n=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-4；
（2）如图1，
当∠EPC=90°时，PC∥x轴，则点P与点C为抛物线上的对称点，而抛物线的对称轴为直线x=-1，所以此时P点坐标为（-2，-4），即此时m的值为-2；
当∠ECP=90°，则EC⊥PC，所以直线PC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{23}{16}}\\{y=-\frac{325}{64}}\end{array}\right.$，所以P（-$\frac{23}{16}$，-$\frac{325}{64}$），即此时m的值为-$\frac{23}{16}$，
综上所述，m的值为-2或-$\frac{23}{16}$；
（3）存在．
如图2，设直线BC的解析式为y=px+q，
把B（1，0），C（0，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=0}\\{q=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=4}\\{q=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=4x-4，
∵四边形PCBM为矩形，
∴∠PCB=90°，即PC⊥BC，
∴直线PC的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x-4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=-\frac{1}{4}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{35}{16}}\\{y=-\frac{221}{64}}\end{array}\right.$，所以P（-$\frac{35}{16}$，-$\frac{221}{64}$），
∵点C向右平移$\frac{35}{16}$个单位，再向上平移$\frac{35}{64}$个单位得到点P，
∴点B向右平移$\frac{35}{16}$个单位，再向上平移$\frac{35}{64}$个单位得到点M，
∴M（-$\frac{19}{16}$，$\frac{35}{64}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数解析式，会把求两个函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题，理解垂直两直线的一次项系数的负倒数关系；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律；会运用分类讨论的思想解决数学问题．