Question

4．已知1＜x＜2，x+$\frac{1}{x-1}$=7．求$\sqrt{x-1}$-$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的值．

Answer 1

分析 变形后两边平方，求出（x-1）²+（$\frac{1}{x-1}$）²=34，根据完全平方公式求出（$\sqrt{x-1}$-$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$）²=32，两边开方即可求出答案．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x-1}$=7，
∴x-1+$\frac{1}{x-1}$=6．求$\sqrt{x-1}$-$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的值．
∴（x-1+$\frac{1}{x-1}$）²=6²，
∴（x-1）²+（$\frac{1}{x-1}$）²+2=36，
∴（x-1）²+（$\frac{1}{x-1}$）²=34，
∴（$\sqrt{x-1}$-$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$）²=（$\sqrt{x-1}$）²-2+（$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$）²=34-2=32，
∵1＜x＜2，
∴$\sqrt{x-1}$＜$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$，
∴$\sqrt{x-1}$-$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$=-$\sqrt{32}$=-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次根式的混合运算和求值，完全平方公式等知识点，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键．