Question

问题提出
平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．
（1）当C、D在线段AB的同侧时．

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是

 

．
如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB

 

∠ADB；
如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB

 

∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

 

．
类比学习
（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

    由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

 

．
拓展延伸
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①连接CA、CB
②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；
③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；
④连接F、E并延长，交直径AB与M；
⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．
请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的判定与性质,三角形的外角性质,圆周角定理

专题：作图题,探究型

分析：（1）∠ACB=∠ADB的依据是：同弧所对的圆周角相等．利用圆周角定理及三角形的外角性质，即可得到圆外角、圆周角、圆内角三者之间的关系，进而得到四点共圆的判定方法．
（2）利用圆周角的度数与所对弧的度数的关系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再结合三角形的外角性质，即可得到点D在圆内、圆外时∠ACB+∠ADB与180°的大小关系，进而得到四点共圆的判定方法．
（3）由（2）中的结论可证到：点E、D、B、M在同一个圆上，从而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可证到CN∥EM，进而可证到CN⊥AB．

解答：解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB．
②如图②，延长BD交⊙O于点E，
∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB
∴∠ACB＜∠ADB．
③如图③，连接AF，
∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB
∴∠ACB＞∠ADB．
故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、
当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
（2）①如图④，
∵

AB

与

ACB

的度数之和等于360°，
且∠ADB的度数等于

ACB

度数的一半，
∠ACB的度数等于

AB

度数的一半，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
②如图⑤，延长AD交⊙O于点E，连接BE，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＞180°．
③如图⑥，连接BF，
∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
故答案为：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
（3）图⑦即为所求作．
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，
∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB．
∴∠EMB=90°．
∴∠EMB+∠EDB=180°．
∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示．
∴∠EMD=∠EBD．
∵∠CND=∠CBD，
∴∠CND=∠EMD．
∴CN∥EM．
∴∠CHB=∠EMB．
∵∠EMB=90°，
∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

点评：本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质、平行线的判定与性质、圆周角的度数与所对弧的度数之间的关系等知识，考查了操作与探究的能力，考查了运用已有的经验解决问题的能力，是一条体现新课程理念的好题．