Question

1．音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，市民广场的音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18米，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax²+bx．
（1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3米，求此时a、b的值；
（2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线最大高度．
（3）若a=-$\frac{2}{7}$，要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于$\frac{1}{2}$米且不能超出2米，求k的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意抛物线的顶点坐标为（3，3），根据顶点坐标公式可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=3}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$，由此即可解决问题．
（2）判断出顶点坐标，即可解决问题．
（3）根据抛物线的对称轴的位置，列出不等式，求出b的取值范围$\frac{36}{7}$≤b≤$\frac{39}{7}$，当b=$\frac{39}{7}$时，抛物线的顶点坐标（$\frac{39}{4}$，$\frac{1521}{56}$），此时$\frac{1521}{56}$=$\frac{39}{4}$k，解得k=$\frac{39}{14}$，
当b=$\frac{36}{7}$时，抛物线的顶点坐标为（9，$\frac{162}{7}$），此时$\frac{162}{7}$=9k，解得k=$\frac{18}{7}$，由此可得k的取值范围为$\frac{18}{7}$≤k$≤\frac{39}{14}$．

解答 解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=3}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{1}{3}$，b=2．

（2）由题意抛物线的对称轴x=9，
∵顶点在直线y=x上，
∴顶点坐标为（9，9），
∴此时喷出的抛物线水线最大高度为9米．

（3）由题意9≤-$\frac{b}{2a}$≤$\frac{39}{4}$，
∴9≤$\frac{7}{4}$≤$\frac{39}{4}$，
∴$\frac{36}{7}$≤b≤$\frac{39}{7}$，
当b=$\frac{39}{7}$时，抛物线的顶点坐标（$\frac{39}{4}$，$\frac{1521}{56}$），此时$\frac{1521}{56}$=$\frac{39}{4}$k，解得k=$\frac{39}{14}$，
当b=$\frac{36}{7}$时，抛物线的顶点坐标为（9，$\frac{162}{7}$），此时$\frac{162}{7}$=9k，解得k=$\frac{18}{7}$，
∴k的取值范围为$\frac{18}{7}$≤k$≤\frac{39}{14}$．

点评 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用为二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．