Question

11．如图，在直线l上依次摆放着4031个正方形，已知斜放着的2015个正方形的面积分别是1、2、3、…、2015，正放置的2016个正方形的面积依次是S₁、S₂、S₃…、S₂₀₁₆，那么S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆=1016064．

Answer 1

分析 运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．

解答 解：解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
在△ABC和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BDE=90°}\\{∠BAC=∠EBD}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB²=AC²+BC²，
∴AB²=AC²+ED²=S₁+S₂，
即S₁+S₂=1，
同理S₃+S₄=3，S₅+S₆=5，…，S₂₀₁₁+S₂₀₁₂=2011，
则S₁+S₂+S₃+S₄+…S₂₀₁₆=1+3+5+…+2015=$\frac{1+2015}{2}$×$\frac{1+2015}{2}$=1016064，
故答案为1016064

点评 此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．