Question

如图，把正方形ABCD变形为有一个内角为30°的菱形ABC′D′，若正方形边长为6，则变形后，菱形的中心O′与原正方形中心O的距离OO′为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,正方形的性质

专题：

分析：先求出∠ABD和∠ABO′，求出∠OBO′=30°，求出BN=2ON，根据圆内接四边形的性质得出∠O′ON=∠ABN，∠OO′N=∠BAN，证△OO′N∽△BAN，得出比例式，即可求出答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，四边形ABC′D′是菱形，
∴∠OBA=45°，∠ABO′=

1

2

∠ABC′=

1

2

×30°15°，
∴∠OBO′=45°-15°=30°，
∴

ON

BN

=

1

2

，
∵四边形ABC′D′是菱形，四边形ABCD是正方形，
∴∠AO′B=∠AOB=90°，
∴A、O′、O、B四点共圆，
∴∠AOO′=∠ABO′，∠OO′B=∠BAO，
∴△OO′N∽△BAO′，
∴

OO′

AB

=

ON

BN

=

1

2

，
∵AB=6，
∴OO′=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了正方形性质，菱形性质，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出

OO′

AB

=

ON

BN

=

1

2

，题目比较好，有点难度．